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积分符号∫2^x/(1+4^x)dx积分符号∫(X+1)/(x^2+9)dx积分符号∫(tg根号X)/根号Xdx..求其原函数
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更新时间:2024-03-29
问题描述:

积分符号∫2^x/(1+4^x)dx

积分符号∫(X+1)/(x^2+9)dx

积分符号∫(tg根号X)/根号Xdx

..求其原函数

陈福根回答:
  1,令t=2^x于是有x=log2(t),所以有dx=dt/(tln2)代入到积分得到∫2^x/(1+4^x)dx=∫dt/(1+t^2)ln2=(1/ln2)arctant+c   将t=2^x代入得到∫2^x/(1+4^x)dx=(1/ln2)arctan2^x+c;   2,方法类似于1.   ∫(X+1)/(x^2+9)dx=∫xdx/(x^2+9)+∫dx/(x^2+9)   =1/2∫d(x^2+9)/(x^2+9)+1/3∫d(x/3)/[1+(x/3)^2   =[ln(x^2+9)]/2+1/3arctan(x/3)+c;   3,令tg√x=t于是可以得到x=(arctant)^2,所以有dx=2arctant/(1+t^2)代入到积分式中得到∫(tg根号X)/根号Xdx   =∫2tdt/(1+t^2)   =∫d(t^2+1)/(t^2+1)   =ln(t^2+1)+c.   将t=tg√x代回到上式中得到∫(tg根号X)/根号Xdx=ln[(tg√x)^2+1]+c;
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